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上官人庄饶有武--杂章乱语

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也谈逆向思维训练  

2012-07-18 20:58:49|  分类: 数学教研论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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也谈逆向思维训练

也谈逆向思维训练 - r-yw - 饶有武--杂章乱语

 逆向思维是指思维活动从惯用的思维方向转换到其反方向。这种思维方式是创造性思维的基础。善于逆向思维是思维灵活的一种表现。在教学中我们应该注意培养学生的逆向思维能力。这种培养不但可以加深学生对各类可逆知识间的理解,而且可以提高可逆知识在应用中的灵活性,有助于发展学生的思维敏捷性和深刻性,有利于培养学生思维的创造性。
下面谈谈本人的一些作法,请行家斧正。
一、在定义教学中加强逆向思维训练
例1    义务教材代数第二册P189讲到同类二次根式的定义:“几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫同类二次根式。”为了加深对同类二次根式的理解,让学生解答下面两题。
   ⑴  最简二次根式     与    是同类二次根式,则x =(       ),          
           ⑵  已知     与  是同类二次根式,则n = (     ), x = (     ).
由定义可知,被开方数相同的最简二次根式  是最简二次根式。而解答上面的题目的思路是:同类二次根式   则被开方数相同,这是同类二次根式定义的逆向运用。
例2    义教代数第一册上册P63对绝对值进行了结构性定义:
            ⑴  一个正数的绝对值是它本身;
            ⑵  一个负数的绝对值是它的相反数;
            ⑶  0 的绝对值是0。   并各自举例。
教学时讲完例1:求  8、-8、1/4   、-  1/4    的绝对值后,教师向学生提问:
⑴   4是什么数的绝对值?
⑵   什么数的绝对值是3?
⑶   |X| = 2,    x = ?    等。
已知一个数求这个数的绝对值,是正向运用绝对值的定义,而已知一个数的绝对值求这个数,是绝对值定义的反向运用,是逆向思维。
二、在公式教学中加强逆向思维训练
在公式教学中,我们往往只注意教学生从左到右的正向运用,而忽视了从右到左的逆向思维训练,久而久之,学生只会呆板地套用公式,而不能灵活地运用公式。这样势必有碍学生思维灵活性的发展。故我们应加强逆向思维训练,借以开拓学生的思维,提高灵活运用公式的能力。
例3    义教代数第一册下册P119例5:
           运用乘法公式计算    (x/2  + 5)2-(x/2  - 5)2.
这是学完了平方差公式和完全平方公式的一个例题。教材解答如下:
解:( x/2    + 5)2-(x/2     - 5)2
     =  x2/4 +5x+25-(  x2/4 -5x+25)
     =10x.
教材编写此例的目的是为了让学生熟悉完全平方公式,因此采用此种解法是无可非议的,完全应该的。为了对学生进行逆向思维训练,在完成上述解法后,可向学生提问:此题能否用平方差公式求解?按照常规,将两个括号用完全平方公式去掉后,再得出结果,这是正常的思维,一般学生都能接受。而要用平方差公式解答,多数学生难以想出。这是因为逆向思维能力差的缘故。教师要求用平方差公式求解,就能迫使学生再次审查平方差公式的用途。一旦找到了新的解法,让学生看到了新解法简单,这对平方差公式也是一个巩固,还能形成学生逆向思维能力。
另解:( x/2 + 5)2-( x/2   - 5)2
          =( x/2  + 5+ x/2  - 5)( x/2    + 5- x/2    +5)
          =10x.
这里虽说用到了因式分解的方法,但并未超过一年级学生的知识范围。熟悉了反用乘法公式的方法,二年级学习公式法分解因式时学生更易于接受,不感到生疏,真是一举几得。
例4    义教代数第一册下册P1202大题3小题:
运用乘法公式计算    [(x+3y)(x-3y)]2.
在计算完此题后,向学生提问:
如何计算  (x+3y)2(x-3y)2?
若按常规计算顺序,先算乘方,再算乘法,则计算不胜其繁。不光计算速度慢,且易出差错。若将本章P92公式(ab)n =  an bn  用来计算此题,则在计算中步步可用公式,使计算大大简化。虽说用了积的乘方公式,但并不是计算积的乘方。这也是逆向思维的一个训练。本人在教学中做了这一训练,后来学生在计算后面复习题七中P1566(9)、及8(3)时就能顺利地解答。
在完成  [(x+3y)(x-3y)]2 后提出计算(x+3y)2(x-3y)2 是非常自然的,非常适时的。学生由于受  [(x+3y)(x-3y)]2 的启发,也容易想到将(x+3y)2(x-3y)2 化为 [(x+3y)(x-3y)]2 来计算。也就是说能自觉地将公式(ab)n =  an bn  反用。在不知不觉中培养了学生的逆向思维能力。
三、在解题思路上加强逆向思维训练
在做证明题时,我们有时用到反证法(义教几何第一册P69用到反证法,第三册P74讲反证法),即不是直接证明命题成立,而是另辟蹊径,证明其逆否命题成立。反证法也是逆向思维的例证。

也谈逆向思维训练 - r-yw - 饶有武--杂章乱语

            若用反证法则很容易。
            证明:假设原方程有两个整数根m、n ,则
                         m + n = 1997        ⑴
                         mn = 1999             ⑵
                        因为m、n 均为整数,又 mn = 1999 是奇数,
                        ∴m、n 均为奇数,两个奇数之和应是偶数,
                        但m + n = 1997 是奇数而不是偶数。
                        ∴ ⑴与⑵有矛盾,   故假设原方程有两个整数根是错误的。
                        ∴原方程无整数根。
不是使用常用的方法从正面证明命题成立,而是从反面出发证明命题成立,这也是一种逆向思维。
例6    义教目标评价《课外作业》P16 21题:
           已知  a2  +  a -1 = 0 , 则 a4+a3+a-6 = (          ).
此题是分解因式一章的课外作业,难度较大,学生在思考解法时,一般是想方设法把 a4+a3+a-6分解因式,但总不能凑效。这时教师可启发学生要利用已知等式 a2  +  a -1 = 0 , 只要将原多项式部分分解因式后有因式 a2  +  a -1 ,就有可能解决问题。
一法:  a4+a3+a-6  = (a4-1)+(a3+a) -5
           = (a2+1) ( a2  +  a -1)-5  =  (a2+1)·0-5 = -5.
二法:若将 a2  +  a -1 = 0 变为a2  +  a  = 1,部分分解因式后若有因式a2 + a也可能解决问题。  
    a4+a3+a-6
= ( a4+a3)+a-6       ⑴
=  a2 (a2 + a)+a-6          ⑵
=  a2 ·1+a-6  =  a2 +a-6  =  1-6 = -5 .
分解因式应将多项式化为几个整式的乘积,这里为了利用已知等式求解,虽说用到了因式分解的方法,但并没有将整个多项式分解因式。另在二法⑵中提公因式并没有按提公因式的法则提出a3 ,而只提出了 a2 。为也是在解题思路指导中进行逆向思维训练的一个例子。

逆向思维的素材无论是教材还是参考书籍上比比皆是,只要我们注意发掘,加强训练,一定能达到提高学生思维能力的目的。

 1998年10月    凤凰山中学饶有武撰          此文获市一等奖       2003年暑假再次打印

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