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上官人庄饶有武--杂章乱语

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利用公式的多种用途培养学生思维的灵活性  

2012-07-18 19:14:59|  分类: 数学教研论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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利用公式的多种用途培养学生思维的灵活性 - r-yw - 饶有武--杂章乱语
 
利用公式的多种用途培养学生思维的灵活性

心理学研究结果表明:一个人看到某物品有了一种惯常用途后,就很难看出它的其他新用途。这就是“功能固定性”。功能固定性使人们趋向于以习惯的方式运用物品,从而妨碍以新的方式去运用它来解决问题。因此功能固定性在思维中是消极的。只有克服了功能固定的消极作用,善于改变物品的惯常功能的人才显得机智、灵活,才能使得诸多物品具有更广泛的应用前景,从而提高物品的使用价值。例如,当初伦琴发现“X光”时并没有预见到这种射线的多种用途。现在人们不仅用X光来检查、治疗疾病,还用它来探索钢铁构件的内部缺陷,如检查钢管有无裂缝。至于X光还有何种用途,还有待于后人进一步发现。
在数学教学中我们也会碰到这种情况,某一个公式往往有多种不同的用途,但在学习这个公式的初期又很难把它的多种用途一一告诉学生,而只有随着教学的不断深入才能将它的种种用途逐一向学生展示。因此在数学教学中,我们应注意引导、启发学生挖掘公式的一些不易发现的、隐蔽的功能(简称改变功能),即培养学生灵活运用公式的能力,以达到培养学生灵活思维之目的。下面就这个问题,结合几个例子谈谈本人的一些作法和认识,不对之处,敬请指正。
★例1    两点之间的距离公式(这个公式的名称就给学生固定其功能起了一定的作用)的主要作用是已知两点坐标求两点间的距离。在作了已知两点坐标求距离的练习后可出一个思考题:
已知A(3,-5)、   B(-2,y)两点间的距离是13,求y。
解答此题要用到两点间的距离公式列方程:

利用公式的多种用途培养学生思维的灵活性 - r-yw - 饶有武--杂章乱语
虽说用了两点距离公式,但并不是求两点间的距离,而是求未知坐标。这个思考练习题向学生展示了公式的另一个用途,改变了其功能。
★例2    一元二次方程根的判别式是中学数学的重点基础知识之一,它不仅可以用来判别一元二次方程根的情况,而且还有很多其他很多重要作用。
初中代数第三册P101指出:一元二次方程  ax2+bx+c=0 (a≠0)在Δ>0时有两个不相等的实数根;Δ=0时有两个相等的实数根;Δ<0时没有实数根。
接着教材安排了三个例题。例1运用根的判别式来判别方程根的情况,例2是根据根的情况由根的判别式列方程或不等式求待定的系数,例3是证明题,也是根的判别式的直接应用。接着教材在练习题和习题中也安排了类似的题目。大量的例题和练习题突出了根的判别式的主要用途,也给学生形成了一个解题模式。这对学生掌握这一重要知识无疑是十分重要的,但也给学生固定根的判别式的功能起了十分消极的作用。一般来说,学生看到某一公式的一种惯常用途后,就不容易看出它的其他新用途,而且初次看到的印象越深刻,其功能也就愈加固定。因此在复习时我们应安排一些练习题来改变判别式的功能,消除上述消极作用。
如,启发学生用根的判别式解答下面的练习题。
⑴判断  x2+x+1  在实数范围内能否分解因式。
    解:∵Δ=-3<0,    ∴ 在实数范围内不能分解。
⑵已知 x2+2axy+3ay2  是完全平方式,求a。
    解:Δ= 4a2-12a=0, ∴a =0,  3。
解答后明确告诉学生,根的判别式有很多作用,除上面的两个练习题中用到的判断关于一个字母的二次三项式在实数范围内能否分解因式和求完全平方式中的待定系数这些作用外,还有其他很多作用。
教材P156有两个复习题(17、18题)就是用一元二次方程根的判别式来求二元二次方程组中的待定系数的。教师应有意识地运用这两个复习题来改变根的判别式的功能。注意了这一点对后面的教学会带来极大的便利。因判定一元二次方程根的符号,判定二次函数y=f(x)的图象与x轴的交点,以及用图象法解一元二次不等式等都要用到根的判别式。
利用公式的多种用途培养学生思维的灵活性 - r-yw - 饶有武--杂章乱语
 待学生用平面几何方法证明后,教师再启发学生联想直角三角形边角关系及正弦定理,用三角方法证明之。证法如下:
四边形GOFD因对角互补而共圆,且外接圆直径为DO,
故GF∶sin(180°-∠GDF)=DO,
∵CO=DO,       sin(180°-∠GDF)=sin∠GDF,
∴GF=DO·sin(180°-∠GDF)=CO·sin∠GDF,
又Rt△CEO中CE=CO·sin∠GDF,
因此CE=GF。
可见三角法使得证明简捷。
通过此例,我们不光让学生看到了三角知识在证平面几何题的作用,更重要的是向学生展示了三角与几何的紧密联系。
由于初等数学的各个分支在内容和方法上都是互相渗透、密切相关的,几何、代数、三角等内容中的一些公式及法则是可以互相通用的。因此我们在平常的教学中应该进行一些上述训练,这样既能加强数学知识间的横向联结,给学生建立整块的知识网络,又能使学生看到改变一些公式或法则的惯常用途,发掘其他功能而给解题带来的方便,提高学生的解题能力,从而培养学生思维的灵活性。
★例5    在公式教学中,我们往往只注意教学生从左到右的正向运用,而忽视了从右到左的逆向思维训练,久而久之,学生只会呆板地套用公式,而不能灵活地运用公式。这样势必有碍学生思维灵活性的发展。故我们应加强逆向思维训练,借以开拓学生的思维,提高灵活运用公式的能力。
例如,计算(a-2b)2 (a+2b)2 (初代第四册P27第3题)。
若按运算顺序先算乘方,再算乘法,则计算非常复杂,不但计算速度慢,且易出错。我们可先让学生自己计算,让那些不善于动脑筋的学生上一点“当”,然后提示学生用积的乘方公式(ab)n=an bn 进行计算。
解:(a-2b)2 (a+2b)2 =[(a-2b)(a+2b) ]2
                  (这一步逆向使用了积的乘方公式)
        =(a2-4b2)=a4-8a2b2+16b4.
步步都可用公式计算,计算当然大大简化。
虽说用了积的乘方公式,但并不是计算积的乘方。所以此例也是改变功能的训练。
又如,计算0.213×(-31.5)-21.3×(-1.315)。
解:原式=21.3×(-0.315)-21.3×(-1.315)
                =21.3×(-0.315+1.315)
                =21.3×1  =21.3。
这是乘法分配律  a (b+c)=ab+ac的逆向运用,也使得计算大为简化。
再如,已知X+Y+Z=a,    XY+YZ+ZX=b,    求 X2+Y2+Z2 的值。
(初中代数第四册P27第五题)
乍一看,这个题目还真不知从何下手。我们可引导学生观察要求的值的代数式与已知等式,联想到三项式的平方公式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca,则可找到解法。
解:因X2+Y2+Z2 +2 XY+2YZ+2ZX=(X+Y+Z)2,
                  (这里逆向运用了三项式平方公式)
即X2+Y2+Z2=(X+Y+Z)2-2(XY+YZ+ZX),
∴X2+Y2+Z2=a2-2b。
通过上面的一些例子,我们可以让学生看到逆向运用公式解题的巨大优越性,从而激发学生掌握这一方法的自觉性。逆向思维的素材无论是教材上还是参考书籍上比比皆是,只要我们注意发掘,加强训练,一定能很好地运用逆向思维这一手段,达到培养学生灵活运用公式的能力的目的。

培养灵活思维能力的方法很多,这里谈到的改变功能训练只是其中之一。我认为教学中我们作好了这一训练,不光可以使学生深刻认识公式,全面理解公式,灵活运用公式,开阔学生思路,进而提高学生的解题能力,而且对于学生学习其他课程,或在日常生活中,或在今后的工作中,都会起一定的作用,即有益于学生的个人修养,有利于学生的整体提高。

                                       1992年11月
                                       此文1992年获市一等奖
                                        2003年暑假再次打印


后记
⒈此文第一稿1987年4月写于茶庵中学,在1988年、1990年又修改过几次,作过文字改动及内容充实。现在的稿子完成于1992年11月,大约是第七稿。
⒉1986年学习咸宁师专编《心理学》(P157)看到关于功能固定性的论述,马上联想到“两点距离公式”,觉得数学学习中也有功能固定的现象,因此产生了“如何利用公式的多种用途培养学生的思维的灵活性”的想法,同时也注意收集这方面的例子,积累素材。
⒊日常生活中,想到了用牙膏代替肥皂洗手(如在出差无肥皂时),用洗衣机洗海带等。还发动学生找日常生活中的例子及数学中的例子。学生找出用洗发精洗手的例子。
⒋一次看到电视中介绍用X光检查无缝钢管有无裂缝,联想到用X光作透视、贝餐、A超、B超、CT等医疗作用。认为X光是一个改变功能的极好例子。
⒌1992年11月4号市教研室陆中泉同志读过此文后建议加进逆向思维的例子。例5就是根据其建议加写的。

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