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教研论文--浅谈数学逻辑思维能力的培养  

2012-07-18 18:42:23|  分类: 数学教研论文 |  标签: |举报 |字号 订阅

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浅谈数学逻辑思维能力的培养

根据正确的思维规律和形式对数学对象的属性进行分析综合、抽象概括、推理证明的能力,叫做数学逻辑思维能力(以下简称逻辑思维能力)。通过数学教学,使学生具有一定的逻辑思维能力,是中学数学教学的目的之一。
下面谈谈本人的一些认识和作法,供商榷(q< )。

一、培养逻辑思维能力,首要问题是搞好概念教学
思维的逻辑形式是:概念、判断、推理。概念是事物本质属性的反映;判断是几个概念的联结,如:“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这一判断中就有五个数学概念(对边、平行、相等、四边形、平行四边形);而推理则是多个判断的联结。可见离开概念就谈不上判断、推理了,也谈不上逻辑思维能力了。因此,培养学生逻辑思维能力首要问题是搞好概念教学。
概念教学大有文章可作,这里只谈本人的一个作法。为了突出被定义事物的本质属性,可用“变式”法则进行概念教学。变式分为两种,下面举例予以说明:
例1、 教学圆的定义时,通过一些具体的圆的形象进行分析综合抽象概括出圆的定义后,教师出示一个圆形的纸板,让学生判断是不是一个圆(答案:否),然后进一步引导学生认识圆的本质属性——到定点的距离等于定长的点的集合。圆形纸板的板面看作无数点组成的,但这些点大部分不具有这一属性,只有“边缘一圈”才具有此属性。这是变式的一种:变换材料的本质属性来突出被定义事物的本质属性。用这种方法教学时,要选择一些看起来好象属于该概念,但实际上不属于该概念的材料。 

教研论文--浅谈数学逻辑思维能力的培养 - r-yw - 饶有武--杂章乱语

 例2、  教学圆周角时给出定义后,可由学生判断下图中的∠α(顶点在圆上)
是不是圆周角(答案:是)。根据圆周角的定义,⑴   圆周角的顶点应在圆上,这里符合;⑵  两边都和圆相交,这里看起来好象不符合。这里用的是变式的第二种形式:变换材料的非本质属性,用以突出被定义事物的本质属性。用这种方法教学时,要选择一些看起来好象不属于该概念,但实际上属于该概念的材料。这里的∠α的两边看起来好象和圆不交,但角的边是射线,看其趋势必定和圆相交。看起来不是圆周角,而实际上是圆周角。

例3、在中考总复习复习代数式的概念时,让学生判断
            ⑴ lgX (  x>0 )          ⑵sinα           ⑶   a              ⑷  3
            等是不是代数式。很多学生回答  lgX   和  sinα 是代数式,而a  和3不是代数式。这是错误的回答。这些同学就未能真正弄清代数式的本质属性——用加、减、乘、除、乘方、开方等六种运算符号把数字和表示数字的字母连接而成,单独的一个数字或字母也是代数式。 lgX 、 sinα不具有代数式的本质属性,因而不是代数式,这用的是第一种变式——变换了本质属性;而 a  和3正好具有代数式的本质属性而是代数式,但看起来好象不是代数式,这用的是第二种变式——变换了非本质属性。
二、利用选择题进行逻辑思维训练
选择题在近几年的考试中大量使用。有些选择题往往不一定用常规解法,这就有利于考察学生灵活运用知识的能力和敏捷的逻辑思维能力。选择题的解法中有一种叫“排除法”,就是通过逻辑判断来排除迷惑支,从而找出唯一正确的答案的一种方法。通过此种选择题的教学可对学生进行逻辑思维训练。
例1    有甲、乙、丙三人,甲说:“乙、丙都说谎。”乙说:“甲、丙都说谎。”
           丙说:“甲、乙都说谎。”则下列命题中正确的是(          )
           A、三人都说谎;                              B、三人都不说谎;
           C、三人中有且只有一人说谎;      D、三人中有且只有一人不说谎。
   解:若A成立,即三人都说谎,当然其中有二人说谎,则第三人未说谎。故A不成立;
           若B成立,即三人都不说谎,当然其中有二人不说谎,则第三人说谎。故B不成立;
           若C成立,即三人中有且只有一人说谎,不访设甲说谎,乙、丙都不说谎,但乙说:“甲、丙
           都说谎。”所以乙也在说谎。故C不成立;
           因此应选D。
例2    ΔABC中,已知 a·cosA + b·cosB = c·cosC,  则ΔABC是(         )
           A、等边三角形;                               B、以a为斜边的直角三角形;
           C、以b为斜边的直角三角形;       D、以上都不对。
    解:若A对,则得出2 = 1 ,故排除了A ;
            因为已知等式中的a、A与b、B对称,若B对,则C也对,反之亦成立,因不能有两个正确
            的答案,故排除了B、C;
            因此只能选D。
          注:  以上两例都是在答案唯一的前提下选择。
此类题目是训练学生敏捷思维能力的好题。通过解答此类题目,使学生看到了逻辑推理在解选择题中的重要作用,从而使学生自觉掌握此种方法,达到逻辑思维训练的目的。

三、利用错例分析进行逻辑思维训练
学生在做题的过程中常出现逻辑上的错误,究其原因,一是由于对定义、定理、公式、法则等基础知识理解不透,掌握不牢,因而不能正确运用;另一原因是缺少严格的逻辑思维训练,学生不懂逻辑思维的规律,因而出现逻辑错误。针对学生经常出现的一些典型错误,设计一些改错题让学生练习,可使学生加深对数学概念、重要方法的理解和掌握,也可提高学生的逻辑思维能力,减少解题中的逻辑错误。
例1    判断本题解答正确与否,并指出错误所在:
           已知ΔABC中,sin2 A + sin2 B = sin2 C.
            求证:ΔABC是直角三角形。
            证明:因为ΔABC是直角三角形,
                        ∴a2 + b2  =  c2 , ( ∠C 是直角)   (1)
                        由正弦定理
                                   教研论文--浅谈数学逻辑思维能力的培养 - r-yw - 饶有武--杂章乱语

                        得a =k·sinA ,      b =k·sinB ,       c= k·sinC,     代入(1)得
                        (k·sinA)2  +(k·sinB)2   =( k·sinC)2  ,
                        即    sin2 A + sin2 B = sin2 C.
                        因此  ΔABC是直角三角形。
这是一种典型的逻辑错误——循环论证。在证明一元二次方程有无实根的题中也常见此类错误。
例2    如下左图,P、S、Q、T分别是∠AOB两边上的点, OP = OQ,
           OS = OT,   PT与QS交于点X。   求证:OX平分∠AOB。
 
 证明:   ∵ OP = OQ,∠AOB公共,OT = OS,
                      ∴ΔOPT ≌ΔOQS,  ∠OPT = ∠OQS,
              又OP = OQ,OX公共,∠OPT = ∠OQS,
              ∴ΔOPX≌ΔOQX, (这里出现错误)
                      ∴ ∠AOX = ∠BOX.
           这也是一个典型错例,用“边、边、角”判定两个三角形
           全等,逻辑上称为“虚假理由”。

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例3   如上右图,已知⊙O1和⊙O2相交于两点P、Q,AB、A1B1是两圆的公切线,切点A、A1在⊙O1上,B、B1在⊙O2上。
求证:AA1∥PQ∥BB1。
       证明:设PQ分别交AB、A1B1于C、C1 ,
             则CA2 = CQ·CP,  CB2  =  CQ·CP,
             故CA2 = CB2   ,    ∴CA = CB,
              因此 C为AB的中点,  同理    C1为A1B1的中点,
              ∴AA1∥CC1∥BB1,(梯形中位线)
              即知AA1∥PQ∥BB1。
仅凭两个中点,误用梯形中位线性质,就判断结论成立,这既违反了逻辑基本规律——充足理由律,又是循环论证。
解答改错题时,要求学生独立思考,找出错误,并划分错误类型,指出错误原因,最后改正。教师可结合教学内容自编或从学生作业中找出一些错例让学生练习。坚持长期训练,对培养学生逻辑思维能力一定大有裨益。

四、加强知识结构教学,培养学生逻辑思维能力
数学中的定义、定理、公式、法则等,它们之间存在着一定的联系。人们从一定的角度出发,用某种观点描述这种联系及作用,总结规律,归纳为一个系统,这就是知识结构。教学中展示这种联系及作用,使知识系统化,条理化,逻辑化,这就是知识结构教学。
例如,我们从知识的逻辑顺序这一角度出发,可将《相似形》一章的知识结构归纳如下。

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       注:P16是统编教材初中几何第二册第16页。P16例题2的定理是:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。
进行知识结构教学时,可先由教师归纳,让学生懂得什么叫知识结构和怎样归纳后,再由学生自己归纳,然后老师订正。归纳后老师可提一问题让学生解答,检查学生是否真正明白了知识间的逻辑顺序关系。如上例中,可由学生判断下面的证明是否正确。
证明平行线分线段成比例定理的推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

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 错误证明:    ABC中,DE∥BC,
                         由P16例2的定理得
                         AD∶AB = AE∶AC = DE∶BC,
                                 故AD∶AB = AE∶AC 。
                         因此  上述命题得证。                             
P16例2的定理是由平行线分线段成比例定理的推论证明出来的,这题反过来用P16例2的定理来证明平行线分线段成比例定理的推论,违反了知识间的逻辑顺序。(请参考前面的知识结构图)
知识结构教学对培养学生逻辑思维能力无疑有很大帮助,我们不能忽视这种教学。

五、重视解题思路的总结,提高逻辑思维能力
      美国数学家波利亚把解题过程分为“审题——探索——表述——回顾”四个环节。其中:“探索”就是分析思考,从各个不同的角度检索,构思各个不同的处理方案,寻求解题的(最优)方案。探索的过程也就是逻辑思维的过程。回顾是在表述后总结解题规律,是解题后的思考,是探索的继续的深化。通过回顾可使解题的思路更加明朗化、条理化、逻辑化。探索是解题的关键环节,回顾是提高学生逻辑思维能力的有效手段。关于探索解题方法,思路的指导,很多文章都作了大篇幅的论述,在此不作赘(zhui)述,只谈一下引导学生回顾的一种作法:解题后写出逻辑推理链。

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                                                                            →    AC∶A1C1 = OB∶OB1。

此例的逻辑推理链是:平行线 →  比例线段  →  平行线 →    比例线段。

例2    已知AB、AC分别切⊙O于B、C,P是⊙O上一点,PD⊥BC于D,
            PE⊥AB于E,PF⊥AC于F(如图)。求证:PD2 = PE·PF。

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  证明:(证法之一,简述)
∵∠PEB = ∠PDB = 90°,
∴∠PEB +∠PDB = 180°,
∴B、E、P、D四点共圆,
∴∠PBE = ∠PDE。
 同理∠PFD = ∠PCD。
 又∠PCD = ∠PBE,
 ∴∠PFD = ∠PDE。
         同理∠PDF = ∠PED。
  ∴△EDP∽△PDF,  ∴PD∶PF = PE∶PD,    
  ∴PD2 = PE·PF。
此例的推理链是:
垂线 → 直角 → 四边形对角互补 → 四点共圆 → 角相等 →  三角形相似  →   比例式 →  等积式。
要求学生要解题后写出推理链,还可要求学生记住一些典型的推理链(如上两例),即记住一些典型的证法,形成暂时的思维定势,使之发生正迁移。这对培养学生的逻辑思维能力也是有好处的。

在平常的教学中,还可结合教学内容穿插讲一点逻辑知识,如同一律、矛盾律、排中律、充足理由律等,以减少学生的逻辑错误,增强识别并纠正此类错误的能力。教师无论是口头语言还是解题示范都应严格遵守逻辑规律,正确运用逻辑思维形式,为学生作出表率。另外逻辑思维能力的发展与其他能力(正确迅速的运算能力和空间想象能力)以及其他一些优良的思维品质(如思维的灵活性、敏捷性等)的发展是密切相关不可分割的,它们既无从属关系,又不能独立存在。在解决一个数学题目的过程中,这些能力经常交织地渗透在里面,融为一体。因此,在教学中我们应该把培养学生的逻辑思维能力与其他优良思维品质有机地结合起来,互相促进。总之,培养学生逻辑思维能力是一个艰巨任务,不是一朝一夕所能完成的,其途径也是很多的,教学中一有机会就应进行此项训练。
 1987年10月20日完稿(车站中学) 此文获地区三等奖、市三等奖
2001年春节前后修改     2003年暑假再次打印

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